Termodinámica de los Gases: Primera Ley (Aplicación a gases ideales)

C = dQ/dT (15)

Observamos en principio que el mismo varía de acuerdo a si el proceso de transferencia de calor se produce a volumen constante o a presión constante. Veamos:

La primera Ley nos dice que:

dU + dL = dQ

Diferenciando dU e incorporando la definición de trabajo:

(dU/dT)V * dT + ((dU/dT)p + p) * dV = dQ

A volumen constante, el segundoi término de la izquierda se anula y

CV = dQ/dT = (dU/dT)V (16)

Haciendo el mismo razonamiento y desarrollando el dU tomando como variables independientes T y P

CP = (dU/dT)P + p * (dU/dT)P (17)

Experimentalmente es posible demostrar que la energía interna de un gas ideal depende de sólo de la temperatura. De manera que U = U(T).

Si además tomamos los calores específicos como constantes para gases ideales

CV = dU/dT, e integrando

U = CVT + K

Esta constante aditiva no se considera siempre que hablemos de incrementos o diferencias de temperatura.
De manera que, para un gas ideal, la 1ª Ley toma la forma

CV * dT + p * dV = dQ

A su vez, por la ecuación de los gases ideales, para un mol

p * dV + V * dP = R * dT

Entonces, reemplazando

(CV + R) * dT – V * dp = dQ

Podemos, para un gas ideal, llegar a una expresión para CP.
A presión constante, dp = 0

CP = (dQ/dT)P = CV + R (18)

Puede demostrarse (no lo haremos aquí) que para gases ideales:

CV = 3/2R y CP = 5/2R para un gas monoatómico
CV = 5/2R y CP = 7/2R para un gas diatómico

Recordamos que para un mol de gas ideal

pV = RT

Como T es constante (transformación isotérmica), entonces:

pV = constante (19)

es decir que la presión y el volumen son inversamente proporcionales. En un gráfico p vs V la gráfica sería una hipérbola equilátera

Una transformación adiabática es aquélla en que se vuelve despreciable el intercambio de calor entre el sistema en estudio y el exterior, por lo tanto, tomando dQ = 0

CVdT + pdV = 0

Utilizando la ecuación (8) para un mol

CV * dT + (RT/V) * dV = 0

Dividiendo por T e integrando

LogT + (R/CV) * logV = constante

Aplicando propiedades de los logaritmos obtenemos:

TV(R/Cv) = constante

Volviendo a aplicar la ecuación (8)

T/(p(Cp-Cv)/Cp) = constante (20)

PV(Cp/Cv) = constante (21)

Como aplicación calcularemos la tasa de cambio aproximada de temperatura atmosférica con la altura. Consideremos un pequeño cilindro de aire que asciende rápidamente en la atmósfera. La transformación es adiabática pues el aire no es un buen conductor y la transformación se realiza con rapidez, por lo que aplicando logaritmos a (20) y diferenciando:

dT/T = (CP – CV)/Cp * dp/p (22)

La diferencia de presión entre las tapas del cilindro es:

dp = – r * g * dh donde r es la densidad y g es la aceleración de la gravedad

O, aplicando (8) considerando que r = m/V:

dp = – (g * M * p) /(R * T) dh

Reemplazando en (22), tenemos que:

dT/dh = – (g * M/R) * (CP – CV)/CP

Los valores para el aire son:

CP = 7/2 CV = 5/2 M = 28,88 g = 980,665cm/seg2 R = 8,214 x 107 erg/K

Con lo que

dT/dh = -9,8 x 10-5 ºK/cm

Con lo que concluimos que, aproximadamente cada 100m la temperatura desciende 1 grado, teniendo en cuenta todas las suposiciones anteriores.